¿Qué es la potencia? (2)

Torres de refrigración central nuclear

Ayer dejamos pendiente aplicar lo que acabábamos de aprender sobre la potencia para realizar algunos cálculos simples que nos permitan ejemplificar qué significa todo lo dicho.

Recordad que la potencia nos dice la cantidad de energía que un cuerpo (el motor) transmite a otro (la carrocería y sus ocupantes) por unidad de tiempo. Además, habíamos visto que una forma útil para calcular la potencia desarrollada es multiplicar la fuerza que el primer cuerpo ejerce sobre el segundo por la velocidad actual, P = F v.

Para hacer estos cálculos, primero tenemos que recordar una vieja amiga de la Física de secundaria, la segunda ley de Newton. Dicha ley nos dice que, para provocar una aceleración a un cuerpo, debemos aplicarle una fuerza igual a la masa de dicho cuerpo multiplicada por la aceleración que debemos concluir, F = m a.

Ahora, es cuestión de tomar la expresión de la 2a ley de Newton, e insertarla a la fuerza (nunca mejor dicho) en la fórmula que comentamos ayer para calcular la potencia. El resultado se obtiene por simple substitución:

P = m a v

Sin más, podemos sacar bastante chicha de esta fórmula. En primer lugar, vemos claramente que la aceleración es directamente proporcional a la potencia. Esto es algo que todos hemos notado: al conducir un vehículo más potente, nos cuesta mucho menos salir disparados de los semáforos, por ejemplo.

Sin embargo, velocidad y aceleración aparecen multiplicadas. Dada una potencia fija, dicha multiplicación siempre tendrá el mismo valor. En consecuencia, si la velocidad es grande, la aceleración será pequeña. Esto quiere decir que, dada una potencia, la aceleración decrecerá a medida que aumenta la velocidad.

Además, la potencia es también proporcional al producto de aceleración y velocidad. Es decir, cuanto mayor sea la velocidad, será necesaria tanta más potencia para mantener una misma aceleración.

Por tanto, juntando las premisas de los últimos dos párrafos, vemos que aumentar la velocidad requiere mucha más potencia. ¿Cuanta más? Depende de varias cosas, como veremos más adelante en esta miniserie. Pero, para hacernos una idea aproximada, es una relación por lo menos cuadrática: para duplicar la velocidad de crucero es necesario cuadruplicar la potencia.

Por último, también vemos que la potencia es proporcional a la masa. Es decir, se requiere mayor potencia para mover un vehículo pesado. No hemos descubierto la sopa de ajo con esto.

La imagen de este motor rezuma potencia

Llevemos el cálculo un poco más allá. Supongamos que el motor suministra una potencia constante. Obviamente, no es ni mucho menos verdad, digámoslo de entrada. No obstante, este modelo simplificado nos permitirá hacernos una idea aproximada de lo que ocurre en realidad. Si tuviéramos que tener en cuenta la forma en que varia la potencia del motor, entonces tendríamos ecuaciones mucho más complicadas, pero los comportamientos generales serían cualitativamente muy similares (por eso lo llamamos aproximación).

Aquellos que sepáis cálculo diferencial, partiendo de la ecuación anterior podréis resolver el problema de forma muy fácil. Dejo un enlace a la demostración para quien la quiera ver. Pero nosotros, sin embargo tomaremos un pequeño atajo.

Como la potencia es igual a la energía transmitida por unidad de tiempo, entonces podemos obtener la energía total suministrada por el motor simplemente multiplicando por el tiempo, E = P t. Esto sólo es verdad si la potencia es constante, claro (justamente, la aproximación que estamos haciendo, mira tú que casualidad).

Por otro lado, sabemos que la energía total acumulada en un coche que se mueve a cierta velocidad es la energía cinética, igual a la masa por la velocidad al cuadrado, todo esto dividido por dos. Esta energía debe ser igual a la que hemos calculado en el párrafo anterior. Por lo tanto,

Velocidad en función de la potencia y el tiempo

Este resultado nos permite calcular la velocidad del vehículo en función de la potencia de su motor y el tiempo que lleva acelerando. Fijaos que la potencia aparece dentro de una raíz cuadrada. Las raíces cuadradas tienen precisamente la propiedad que decíamos antes: para que el resultado de la raíz se duplique, lo que hay dentro debe cuadruplicarse.

Velocidad en función del tiempo para diversos valores de la potencia

Los resultados de la fórmula se muestran en la gráfica anterior. Cada línea representa la evolución de la velocidad a lo largo del tiempo para diferentes valores de la potencia. Salta a la vista que aumentar la potencia cada vez incrementa menos la velocidad obtenida, precisamente por lo que exponíamos más arriba.

Notaréis que, pese a todo, la velocidad del vehículo aumenta de forma ilimitada con el tiempo. Si alargáramos el gráfico hacia la derecha, la velocidad seguiría creciendo cada vez más lentamente. Pero aun así seguiría aumentando hasta el infinito.

Esto es un defecto de nuestro modelo. Hemos supuesto que el motor proporciona potencia de forma constante durante todo el tiempo (y, aún así, la velocidad aumenta cada vez menos), y no hay nada que disipe la energía proporcionada. En el mundo real sabemos que no es así, hay fricciones por todas partes. En la siguiente entrega modificaremos nuestros cálculos para tener este hecho en cuenta.

En Circula seguro | ¿Qué es la potencia? (1)
Fotos | Redwood 1, Netcars

  • lizy15

    Potencia potencia genial post.