Velocidad media (y 2)

Hace unos diez días nos entretuvimos haciendo algunos cálculos con la velocidad media. Concretamente, fuimos capaces de calcular que si dividimos un viaje en diferentes tramos donde la velocidad es constante a lo largo de todo el intervalo de tiempo, entonces la velocidad media se obtiene simplemente mediante el promedio aritmético ponderado de las velocidades parciales de cada tramo.

Fijaos que debemos utilizar un promedio ponderado, y no del promedio al que estamos acostumbrados todos: cuanto más tiempo permanecemos a una velocidad, entonces ese tramo tendrá más importancia al calcular la velocidad media total. Por contra, si permanecemos a cierta velocidad durante muy poco tiempo, entonces ese tramo será insignificante.

Por ejemplo, si en un trayecto de una hora permanecemos durante 50 minutos a 100km/h, y el tiempo restante a 50km/h, está claro que la velocidad media total se parecerá más a los 100km/h. En efecto, echando mano de una calculadora podemos ver que en el trayecto descrito se recorrerán 91,67km en un total de 60 minutos, por lo que la velocidad media (para esto ya no hace falta la calculadora) es de 91,67km/h.

Lo dicho queda expresado matemáticamente en la ecuación que vimos el otro día,

No obstante, como ya indicamos en la primera entrega, el calculo que hemos hecho no es el más adecuado a la situación de describir la velocidad media en un trayecto. Sin duda, todo lo dicho es verdad, completamente cierto; pero hay algo que no acaba de cuadrar con la realidad que nos encontramos todos cada día en la carretera: Normalmente, no podemos elegir cuanto tiempo permanecemos a una determinada velocidad.

Pensemos en ello. Si planificamos una ruta minuciosamente, normalmente podemos decir cosas del estilo: «desde el punto A al punto B hay buena carretera, podré viajar a 100km/h; después podré tomar la autopista hasta C, así que llegaré a los 120km/h. Por último, para llegar al punto D (de destino) tendré que entrar en calles, donde me veré limitado a 50km/h».

Fijaos en lo que hemos hecho, hemos fijado nuestra velocidad entre diferentes hitos del camino, puntos kilométricos. Dicho de otra forma, lo que nos viene dado es la distancia a lo largo de la que podemos mantener cada velocidad. La longitud de cada tramo es algo fijado, no podemos escogerlo de ninguna de las formas. Lo que si podemos escoger es la velocidad, dentro de los marcos legales.

Pero una vez fijada la velocidad, dado que la distancia es fija, el tiempo viene dado automáticamente por los otros dos parámetros. No podemos escogerlo. Así, por lo tanto, lo que realmente necesitamos es una ecuación para calcular la velocidad media donde únicamente salga la longitud de cada tramo y la velocidad a la que lo recorremos.

Veamos como se obtiene. No temas si encuentras la explicación algo difícil de seguir, tras la foto de la armónica encontrarás ejemplos numéricos que permitirán verlo todo más claro (de hecho, en caso de aprieto, incluso puedes saltarte toda la explicación teórica que hay desde ahora hasta el punto indicado).

Recordemos que, por definición, la velocidad media es igual a la distancia total recorrida dividida por el tiempo necesario para recorrerla. Obviamente, la distancia total recorrida se obtiene sumando la longitud de cada tramo. Con el tiempo total, otro tanto. Por lo tanto, nuestro punto de partida es

En esta ecuación, por todo lo que hemos dicho, lo que nos molesta es que aparezcan los tiempos. Así que necesitamos deshacernos de todas esas t’s en la parte de abajo de la fracción.

No hay problema, como hemos dicho anteriormente el tiempo que pasamos en cada tramo viene fijado automáticamente por su longitud y por la velocidad a la que lo recorremos. Como seguramente sabréis, el tiempo es igual a la distancia partida por la velocidad. Es decir,

Esta es una ecuación algo extraña. Fijaos que hay un montón de fracciones: una enorme y luego otras dentro de ella. Para analizar que significa todo esto, vamos a jugar a un juego que se llama darle la vuelta a la fracción grande. No es que sea muy divertido, pero es educativo. El resultado es

Nótese que, como he dado la vuelta a la fracción grande que había a la derecha del signo igual, también he tenido que hacer lo mismo a la izquierda (recordad que v_media a secas es lo mismo que una fracción donde lo de abajo es 1, v_media/1). Si no hago lo mismo a ambos lados de la ecuación, entonces se rompería la igualdad, ¿verdad?

El lector avispado (y con cierta agilidad matemática) se dará cuenta que lo que hemos puesto aquí es un promedio ponderado, similar al que explicamos al principio del artículo. Lo raro el objeto del que estamos calculando la media ponderada no es la velocidad, sino su inversa (es decir, uno partido por la velocidad).

Esta forma de calcular promedios a través de las inversas ya era conocida por Pitágoras, y se conoce con el nombre de media armónica. Tiene propiedades matemáticas muy interesantes, que la wikipedia tendrá mucho gusto a explicaros.

Así que, en definitiva, lo que tenemos que hacer es tomar la distancia de cada tramo y dividirla por la velocidad a la cual vamos a recorrerlo. Esta división es la contribución de cada tramo a la velocidad media. Y cuando hemos hecho eso para todos los tramos, sumamos todos los resultados.

Una propiedad interesante de la división es que si el numero por el que dividimos es muy grande, entonces el resultado es muy pequeño. Es decir, si el número que hay debajo en la división (la velocidad, en este caso) es muy grande en comparación con el que hay arriba (la distancia), entonces el resultado final será muy muy pequeño, cercano a cero. Es decir, aquellos tramos donde la velocidad sea muy grande tendrán contribuciones muy pequeñas (a no ser que sean tramos muy largos, con lo cual el número de arriba de la fracción también sería grande).

Y viceversa, aquellos tramos con velocidades muy reducidas tendrán contribuciones muy grandes (a no ser que sean extraordinariamente cortos, claro).

En conclusión, al sumar las contribuciones de todos los tramos, aquellos tramos con velocidades pequeñas tendrán mayor importancia que los rápidos. Es decir, a la hora de calcular la velocidad media, las puntas de gran velocidad apenas se notarán; mientras que los momentos de muy baja velocidad afectaran notablemente al resultado final.

Esto desmota uno de los grandes argumentos en contra de los límites de velocidad. La velocidad media del trayecto (es decir, el tiempo total del trayecto) se ve poco influenciado por moderados incrementos en la velocidad punta. Sobre todo, si el mismo trayecto incluye tramos de muy baja velocidad, como por ejemplo calles urbanas, semáforos, o intersecciones sin prioridad.

Como lo prometido es deuda, veamos unos cuantos ejemplos numéricos que nos ayudarán entender lo dicho de una forma algo más clara.

Para empezar, pongamos un trayecto de un trabajador que vive a 10km de su empresa. Supongamos que necesita callejear exactamente un kilómetro para entrar a la autopista y otro para salir de ella. Recorrerá 8km a 120km/h (con lo cual, estará en la autopista 4 minutos). Supongamos que cubrirá los dos kilómetros urbanos a 20km/h de media (teniendo en cuenta semáforos, rotondas, pasos de peatones, etc.), con lo que necesitará otros seis minutos.

Por lo tanto, habrá recorrido los 10km en una decena de minutos, lo que da una velocidad media de 60km/h. Podéis repetir el cálculo con las fórmulas anteriores, veréis que da lo mismo (obviamente). Vemos que, aunque ha exprimido al máximo el límite legar en autopista durante el 80% (en distancia) del trayecto, la lentitud del entramado urbano pesa más a la hora de calcular la velocidad media.

Ahora supongamos que, a sabiendas de que perderá el tiempo en la ciudad, nuestro protagonista se disfraza de infractor y decido recorrer la autopista a 140km/h. Aún con ello, la velocidad media total será de 63,64km/h. Aunque ha sobrepasado el límite con margen suficiente para que empiecen a restarle puntos del carnet, sólo consigue aumentar el promedio en unos míseros 3,6km/h, ahorrando apenas 34 segundos de trayecto (seguramente, a costa de un importante incremento en el consumo).

Por contra, si decidiera ir de tranquilo y no pasar de 100 en autopista, la velocidad media caería a 55,54km/h. El trayecto duraría 48s más, en comparación con el límite legal de velocidad en autopista. Y, seguramente, esta pérdida mínima de tiempo comportaría un ahorro en combustible y contaminación substancial.

Veamos otro ejemplo. Supongamos que nos tragamos un atasco durante gran parte de nuestro trayecto. Pongamos, que avanzamos a 30km/h durante 9km. Nos libramos de la lenta procesión de vehículos a un kilómetro de nuestro destino. Pero, para recuperar tiempo, pisamos a fondo y lo recorremos a 120km. Calculadora en mano, los primeros 9km costarán un total de 18 minutos. Por contra, los últimos mil metros se recorrerán en treinta segundos. Por lo tanto, la decena de kilómetros del trayecto total se recorrerán en 18,5 minutos, lo que da una media de 32,43km/h.

Es decir, pese a que nuestro apretón final representaba un aumento significativo de la velocidad, que se ha cuadriplicado durante un 10% del trayecto, tan sólo ha significado un incremento de unos pírricos 2,43km/h. De hecho, si ignorando todas las leyes (de circulación y de la Física) el último kilómetro se hubiera cubierto a la velocidad de la luz (299 792,458km/s), la velocidad media total sería 33,3km/h.

Este ejemplo es especialmente ilustrativo de la poca repercusión que tiene un acelerón puntual en la velocidad media de un recorrido. Y debería ser hasta cierto punto obvio. Por muy rápido que vaya uno al salir del atasco, lo que no puede hacer es recuperar el tiempo que ya ha perdido. Por mucho que uno tenga la sensación de tener que recuperar el tiempo, la aguja del reloj nunca volverá atrás.

En general, lo dicho es una propiedad matemática de la media armónica: los tramos con menor velocidad tienen mucho más peso que las puntas de extrema velocidad.

Por lo tanto, no se gana un tiempo total significativo apurando los motores al máximo, mantenerse a cierto margen al rededor de las velocidades recomendadas no provoca grandes diferencias temporales (aunque sí de consumo y, sobre todo, de seguridad). Por contra, si se obtienen ahorros importantes de tiempo si se planifican las rutas para evitar zonas lentas, como obras y vías saturadas.

Sí, sé que todos tenemos el instinto de que corriendo llegaremos antes. Y es verdad, algo antes llegaremos. Pero la ganancia no es tan grande como podíamos pensar… lo dice la Física.

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